Достаточный признак убывания функции: если все значения производной некоторой функции отрицательны внутри промежутка, то функция внутри него строго убывает.
Замечание репетитора по математике: если концы промежутка являются точками непрерывности функции (один или оба), то их можно присоденить к указанному промежутку возрастания.
Достаточный признак возрастания функции: если все значения производной некоторой функции положительны внутри промежутка, то функция внутри него строго возрастает.
Как найти угол наклона касательной по ее угловому коэффициенту:
2) две наклонный прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно -1.
1) две наклонный прямые параллельны, тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны.
Полезные факты для решения задач на касательную:
Окончательная форма уравнения касательной :
Общая форма уравнения касательной:
Комментарий репетитора по математике: угол наклона касательной определяется как направленный положительный угол, то есть тот самый угол, который вы привыкли откладывать на тригонометрическом круге от положительного направления оси OX против часовой стрелки. Поэтому, если если касательная отклонена влево от вертикального положения, ваш угол наклона окажется тупым, то есть принадлежащим промежутку . Так как тангенс любого такого угла (угла второй четверти) отрицательный, то отрицательной окажется и производная.
Геометрический смысл производной: Значение производной функции в точке равнo угловому коэффициенту касательной, проведенной к в точке , то есть , где k — угловой коэффициент касательной.
Иллюстрация касательной m к графику функции в точке :
Строгое определение касательной (из курса математического анализа) : прямая называется касательной к графику функции в точке , если при разность есть бесконечно малая величина, более высокого порядка малости чем
Школьное определение касaтельной: прямая y=f (x) называется касательной к графику функции f (x) в точке если она проходит через точку и имеет угловой коэффициент .
Касательная к графику функции.
Cправочник репетитора по математике предназначен для учащихся 5-11 классов и для преподавателей математики. Последние найдут в нем несколько оригинальных подходов к подаче и оформлению теоретических конспектов, упрощающих работу школьников с математическими понятиями и законами.
Автор: Колпаков А.Н. on 5 января 2011
Справочник репетитора по математике. Касательные, экстремумы и исследования функций
Профессиональный репетитор по математике, методист. Опыт работы 18 лет
Виртуальный справочник репетитора по математике. Касательные, экстремумы и исследования функций одной переменной. Колпаков Александр Николаевич
Комментариев нет:
Отправить комментарий